Matemática – Probabilidade

Experimento Aleatório

É qualquer experiência ou ensaio cujo resultado é imprevisível, por depender exclusivamente do acaso.
Exemplo: Lançar um dado (experimento) e se obter o número 5 (resultado devido exclusivamente ao acaso).

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, que se indica por Ω.
Exemplo: No lançamento de um dado, temos;

 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Evento

É qualquer subconjunto de um espaço amostral. Indicamos o evento por letras maiúsculas.

Exemplo: No lançamento de um dado, vimos que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Podemos definir os seguintes eventos:
A: sair face par → A= {2, 4, 6};
B: ocorrer um número 7 → B = {} (evento impossível);
C: ocorrer um número menor que 7 → C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω (evento certo).

Probabilidade

Chama-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que P(A)= (n(A))/(n(Ω)), em que n(A) e n(Ω) são, respectivamente, o número de elementos do evento A e de Ω.

Exemplo: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número primo?
A: sair número primo → A = {2, 3, 5} → n(A) = 3, então P(A) = 3/6 = ½.

Eventos Complementares

Seja Ω um espaço amostral finito e não-vazio, e seja A um evento de Ω. Chama-se complementar de A, e indica-se por A ̅, o evento formado por todos os elementos de Ω que não pertencem a A.

 

Propriedades

1- P(∅) = 0;
2- P(Ω) = 1;
3- 0 ≤ P(A) ≤ 1;
4- P(A) + P(A ̅) = 1;
5- Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω, finito e não-vazio. Tem-se:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B);
6- Se A∩B = ∅, então os eventos A e B são chamados de mutuamente exclusivos. Nesse caso P(A∩B) = 0 e portanto:
P(A∪B) = P(A) + P(B).

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional do evento A em relação a B, que se indica por P(A|B), é a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B, definida por:

P(A│B)=(P(A∩B))/(P(B)).

Eventos independentes

Dois eventos A e B são independentes se, e somente se, P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B).
Propriedade: Se A e B são evento independentes, então P(A∩B) = P(A).P(B).

Exercício Resolvido

(Unesp) Numa cidade com 30000 domicílios,
10000 domicílios recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Determine:

a) o número de domicílios que recebem os dois jornais;
b) a probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal da loja de eletrodomésticos X e não receber o jornal do supermercado Y;

Solução:

a) Temos que n(X∩Y)=(10000+8000+15000)-30000=3000.

Logo, o número de domícilios que recebem os dois jornais é 3000.
b) p=7000/30000=7/30.

RESPOSTA:
a) 3000;
b) 7/30

Referência Bibliográfica
FUGITA, Felipe; FERNANDES, Marco Antônio; POLICASTRO, Milena; TAMASHIRO, Willian. Matemática Ens. Médio, Ser Protagonista : vol. 2. 1ª.ed. São Paulo: SM, 2009.